Selesaikan {l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-7y=-9$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=7y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 7y-9.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

Gantikan \frac{7y-9}{5} dengan x dalam persamaan lain, -2x-y=-4.

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

Darabkan -2 kali \frac{7y-9}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

Tambahkan -\frac{14y}{5} pada -y.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

Tolak \frac{18}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{19}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

Darabkan \frac{7}{5} kali 2.

$$x=\frac{14-9}{5}$$

Tambahkan -\frac{9}{5} pada \frac{14}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

Untuk menjadikan 5x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

Tolak -10x-5y=-20 daripada -10x+14y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y+5y=18+20$$

Tambahkan 14y pada 5y.

$$19y=18+20$$

Tambahkan 18 pada 20.

$$19y=38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -2x-y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-2=-4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$