Selesaikan {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-7y=-27$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=7y-27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 7y-27.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

Gantikan \frac{7y-27}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=24.

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

Darabkan 2 kali \frac{7y-27}{5}.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

Tambahkan \frac{14y}{5} pada 3y.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

Tambahkan \frac{54}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

Darabkan \frac{7}{5} kali 6.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

Tambahkan -\frac{27}{5} pada \frac{42}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

Permudahkan.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

Tolak 10x+15y=120 daripada 10x-14y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y-15y=-54-120$$

Tambahkan -14y pada -15y.

$$-29y=-54-120$$

Tambahkan -54 pada -120.

$$-29y=-174$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -29.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 2x+3y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\times 6=24$$

Darabkan 3 kali 6.

$$2x+18=24$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=6$$