Selesaikan {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-6y=4$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=6y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

Gantikan \frac{6y+4}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

Darabkan 3 kali \frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada 7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{53}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{28}{53}$$

Gantikan \frac{28}{53} dengan y dalam x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

Darabkan \frac{6}{5} dengan \frac{28}{53} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada \frac{168}{265} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{76}{53}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Permudahkan.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

Tolak 15x+35y=40 daripada 15x-18y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-18y-35y=12-40$$

Tambahkan -18y pada -35y.

$$-53y=12-40$$

Tambahkan 12 pada -40.

$$-53y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -53.

$$y=\frac{28}{53}$$

Gantikan \frac{28}{53} dengan y dalam 3x+7y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

Darabkan 7 kali \frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

Tolak \frac{196}{53} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{228}{53}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{76}{53}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$