Selesaikan {l}{5x-5y=5}{-6x+5y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = 5 } \\ { - 6 x + 5 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-5y=5$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=5y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 5+5y.

$$x=y+1$$

Gantikan y+1 dengan x dalam persamaan lain, -6x+5y=-6.

$$-6\left(y+1\right)+5y=-6$$

Darabkan -6 kali y+1.

$$-6y-6+5y=-6$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y-6=-6$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-5\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{6}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-\left(-6\right)\\-\frac{6}{5}\times 5-\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-5y=5,-6x+5y=-6$$

Untuk menjadikan 5x dan -6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-6\times 5x-6\left(-5\right)y=-6\times 5,5\left(-6\right)x+5\times 5y=5\left(-6\right)$$

Permudahkan.

$$-30x+30y=-30,-30x+25y=-30$$

Tolak -30x+25y=-30 daripada -30x+30y=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x+30y-25y=-30+30$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30y-25y=-30+30$$

Tambahkan 30y pada -25y.

$$5y=-30+30$$

Tambahkan -30 pada 30.

$$5y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam -6x+5y=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=0$$