Selesaikan {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=19$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Gantikan \frac{4y+19}{5} dengan x dalam persamaan lain, x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

Tambahkan \frac{4y}{5} pada 2y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

Tolak \frac{19}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{14}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{8}{7}$$

Gantikan \frac{8}{7} dengan y dalam x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} dengan \frac{8}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

Tambahkan \frac{19}{5} pada \frac{32}{35} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{33}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Untuk menjadikan 5x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

Permudahkan.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

Tolak 5x+10y=35 daripada 5x-4y=19 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-10y=19-35$$

Tambahkan -4y pada -10y.

$$-14y=19-35$$

Tambahkan 19 pada -35.

$$-14y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=\frac{8}{7}$$

Gantikan \frac{8}{7} dengan y dalam x+2y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

Darabkan 2 kali \frac{8}{7}.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

Tolak \frac{16}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{33}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$