Selesaikan {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y-4=34$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x-3y=38$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+38$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Gantikan \frac{3y+38}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Darabkan -3 kali \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Tambahkan -\frac{9y}{5} pada 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Tambahkan -\frac{114}{5} pada -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Tambahkan \frac{204}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{16}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{187}{8}$$

Gantikan \frac{187}{8} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} dengan \frac{187}{8} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Tambahkan \frac{38}{5} pada \frac{561}{40} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{173}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Untuk menjadikan 5x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Permudahkan.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Tolak -15x+25y-90=170 daripada -15x+9y+12=-102 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Tambahkan 9y pada -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Tambahkan 12 pada 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Tambahkan -102 pada -170.

$$-16y+102=-272$$

Tolak 102 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-16y=-374$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=\frac{187}{8}$$

Gantikan \frac{187}{8} dengan y dalam -3x+5y-18=34. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Darabkan 5 kali \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Tambahkan \frac{935}{8} pada -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Tolak \frac{791}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=\frac{173}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$