Selesaikan {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x-3y=2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{3y+2}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

Darabkan 4 kali \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada 3.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

Tolak \frac{23}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{47}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Gantikan -\frac{23}{47} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} dengan -\frac{23}{47} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada -\frac{69}{235} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{47}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

Permudahkan.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

Tolak 20x+35y+15=0 daripada 20x-12y-8=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-35y-8-15=0$$

Tambahkan -12y pada -35y.

$$-47y-8-15=0$$

Tambahkan -8 pada -15.

$$-47y-23=0$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-47y=23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Gantikan -\frac{23}{47} dengan y dalam 4x+7y+3=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

Darabkan 7 kali -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

Tambahkan -\frac{161}{47} pada 3.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

Tambahkan \frac{20}{47} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{5}{47}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$