Selesaikan {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{3y+2}{5} dengan x dalam persamaan lain, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

Darabkan 6 kali \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{28}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Gantikan -\frac{37}{28} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} dengan -\frac{37}{28} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada -\frac{111}{140} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Untuk menjadikan 5x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Tolak 30x+10y=-25 daripada 30x-18y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-18y-10y=12+25$$

Tambahkan -18y pada -10y.

$$-28y=12+25$$

Tambahkan 12 pada 25.

$$-28y=37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Gantikan -\frac{37}{28} dengan y dalam 6x+2y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

Darabkan 2 kali -\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Tambahkan \frac{37}{14} pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$