Selesaikan {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=1800$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+1800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Gantikan \frac{3y}{5}+360 dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

Darabkan 6 kali \frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

Tambahkan \frac{18y}{5} pada -4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Tolak 2160 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1400$$

Gantikan 1400 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+360. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

Darabkan \frac{3}{5} kali 1400.

$$x=840+360$$

Tambahkan 360 pada 840.

$$x=1200$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1200,y=1400$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1200,y=1400$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Untuk menjadikan 5x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Permudahkan.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Tolak 30x-20y=8000 daripada 30x-18y=10800 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-18y+20y=10800-8000$$

Tambahkan -18y pada 20y.

$$2y=10800-8000$$

Tambahkan 10800 pada -8000.

$$2y=2800$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=1400$$

Gantikan 1400 dengan y dalam 6x-4y=1600. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-4\times 1400=1600$$

Darabkan -4 kali 1400.

$$6x-5600=1600$$

Tambahkan 5600 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=7200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=1200$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1200,y=1400$$