Selesaikan {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak kx daripada kedua-dua belah.

$$6y-kx=-42$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=10$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+10.

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

Gantikan \frac{3y}{5}+2 dengan x dalam persamaan lain, \left(-k\right)x+6y=-42.

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

Darabkan -k kali \frac{3y}{5}+2.

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

Tambahkan -\frac{3ky}{5} pada 6y.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

Tambahkan 2k pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{3k}{5}+6.

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

Gantikan \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

Darabkan \frac{3}{5} kali \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}.

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10}.

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak kx daripada kedua-dua belah.

$$6y-kx=-42$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak kx daripada kedua-dua belah.

$$6y-kx=-42$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

Untuk menjadikan 5x dan -kx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -k dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

Permudahkan.

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

Tolak \left(-5k\right)x+30y=-210 daripada \left(-5k\right)x+3ky=-10k dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

Tambahkan -5kx pada 5kx. Seubtan -5kx dan 5kx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3ky-30y=-10k+210$$

Tambahkan 3ky pada -30y.

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

Tambahkan -10k pada 210.

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30+3k.

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

Gantikan \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} dengan y dalam \left(-k\right)x+6y=-42. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

Darabkan 6 kali \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}.

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

Tolak \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -k.

$$x=\frac{22}{k-10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$