Selesaikan {l}{5x-2y=16}{3x+5y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 16 } \\ { 3 x + 5 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=16$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Gantikan \frac{16+2y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+5y=-9.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+5y=-9$$

Darabkan 3 kali \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{48}{5}+5y=-9$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{48}{5}=-9$$

Tolak \frac{48}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{31}{5}y=-\frac{93}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{31}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\left(-3\right)+\frac{16}{5}$$

Darabkan \frac{2}{5} kali -3.

$$x=\frac{-6+16}{5}$$

Tambahkan \frac{16}{5} pada -\frac{6}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 16+\frac{2}{31}\left(-9\right)\\-\frac{3}{31}\times 16+\frac{5}{31}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-2y=16,3x+5y=-9$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 16,5\times 3x+5\times 5y=5\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$15x-6y=48,15x+25y=-45$$

Tolak 15x+25y=-45 daripada 15x-6y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-6y-25y=48+45$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-25y=48+45$$

Tambahkan -6y pada -25y.

$$-31y=48+45$$

Tambahkan 48 pada 45.

$$-31y=93$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -31.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 3x+5y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+5\left(-3\right)=-9$$

Darabkan 5 kali -3.

$$3x-15=-9$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-3$$