Selesaikan {l}{5x=y+6}{5x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = y + 6 } \\ { 5 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-y=6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-y=6,5x+2y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-y=6$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali y+6.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{6+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 5x+2y=3.

$$5\left(\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

Darabkan 5 kali \frac{6+y}{5}.

$$y+6+2y=3$$

Tambahkan y pada 2y.

$$3y+6=3$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{6}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -1.

$$x=\frac{-1+6}{5}$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada -\frac{1}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-y=6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-y=6,5x+2y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 6+\frac{1}{15}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$5x-y=6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-y=6,5x+2y=3$$

Tolak 5x+2y=3 daripada 5x-y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-y-2y=6-3$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-2y=6-3$$

Tambahkan -y pada -2y.

$$-3y=6-3$$

Tambahkan 6 pada -3.

$$-3y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 5x+2y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+2\left(-1\right)=3$$

Darabkan 2 kali -1.

$$5x-2=3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$