Selesaikan {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7z daripada kedua-dua belah.

$$5x-7z=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9z daripada kedua-dua belah.

$$8x-9z=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-7z=0$$

Tambahkan 7z pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=7z$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

Gantikan \frac{7z}{5} dengan x dalam persamaan lain, 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Darabkan 8 kali \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Tambahkan \frac{56z}{5} pada -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$z=0$$

Gantikan 0 dengan z dalam x=\frac{7}{5}z. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,z=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7z daripada kedua-dua belah.

$$5x-7z=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9z daripada kedua-dua belah.

$$8x-9z=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan z.

$$x=0,z=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 7z daripada kedua-dua belah.

$$5x-7z=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 9z daripada kedua-dua belah.

$$8x-9z=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Untuk menjadikan 5x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Permudahkan.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Tolak 40x-45z=0 daripada 40x-56z=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Tambahkan 40x pada -40x. Seubtan 40x dan -40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-56z+45z=0$$

Tambahkan -56z pada 45z.

$$-11z=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$z=0$$

Gantikan 0 dengan z dalam 8x-9z=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,z=0$$