Selesaikan {l}{5x=4y-2}{5y+1=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 4 y - 2 } \\ { 5 y + 1 = x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$5y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5y-x=-1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=-2$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y-2.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{4y-2}{5} dengan x dalam persamaan lain, -x+5y=-1.

$$-\left(\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}\right)+5y=-1$$

Darabkan -1 kali \frac{4y-2}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}+5y=-1$$

Tambahkan -\frac{4y}{5} pada 5y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{2}{5}=-1$$

Tolak \frac{2}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{21}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{21}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam x=\frac{4}{5}y-\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} dengan -\frac{1}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{4}{15}-\frac{2}{5}$$

Tambahkan -\frac{2}{5} pada -\frac{4}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$5y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5y-x=-1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-4\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{4}{21}\\\frac{1}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-2\right)+\frac{4}{21}\left(-1\right)\\\frac{1}{21}\left(-2\right)+\frac{5}{21}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x-4y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$5y+1-x=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5y-x=-1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=-2,-x+5y=-1$$

Untuk menjadikan 5x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-5x-\left(-4y\right)=-\left(-2\right),5\left(-1\right)x+5\times 5y=5\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$-5x+4y=2,-5x+25y=-5$$

Tolak -5x+25y=-5 daripada -5x+4y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+4y-25y=2+5$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-25y=2+5$$

Tambahkan 4y pada -25y.

$$-21y=2+5$$

Tambahkan 2 pada 5.

$$-21y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -21.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{1}{3} dengan y dalam -x+5y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=-1$$

Darabkan 5 kali -\frac{1}{3}.

$$-x-\frac{5}{3}=-1$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$