Selesaikan {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y=16$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$7x+2y=32$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=16$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Gantikan \frac{16+2y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Darabkan 7 kali \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Tambahkan \frac{14y}{5} pada 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Tolak \frac{112}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{24}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Darabkan \frac{2}{5} kali 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Tambahkan \frac{16}{5} pada \frac{4}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y=16$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$7x+2y=32$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y=16$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$7x+2y=32$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Untuk menjadikan 5x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Permudahkan.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Tolak 35x+10y=160 daripada 35x-14y=112 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14y-10y=112-160$$

Tambahkan -14y pada -10y.

$$-24y=112-160$$

Tambahkan 112 pada -160.

$$-24y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 7x+2y=32. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+2\times 2=32$$

Darabkan 2 kali 2.

$$7x+4=32$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$