Selesaikan {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=9.95$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+9.95$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

Gantikan -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} dengan x dalam persamaan lain, 6x+6y=18.6.

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

Darabkan 6 kali -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

Tambahkan -\frac{6y}{5} pada 6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

Tolak \frac{597}{50} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{24}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{111}{80}$$

Gantikan \frac{111}{80} dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{111}{80} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

Tambahkan \frac{199}{100} pada -\frac{111}{400} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{137}{80}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Untuk menjadikan 5x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

Permudahkan.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

Tolak 30x+30y=93 daripada 30x+6y=59.7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-30y=59.7-93$$

Tambahkan 6y pada -30y.

$$-24y=59.7-93$$

Tambahkan 59.7 pada -93.

$$-24y=-33.3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=\frac{111}{80}$$

Gantikan \frac{111}{80} dengan y dalam 6x+6y=18.6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

Darabkan 6 kali \frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

Tolak \frac{333}{40} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{411}{40}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{137}{80}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$