Selesaikan {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Gantikan \frac{-y+9}{5} dengan x dalam persamaan lain, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Darabkan 10 kali \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Tambahkan -2y pada -7y.

$$-9y+18=-18$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Tambahkan \frac{9}{5} pada -\frac{4}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Untuk menjadikan 5x dan 10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Permudahkan.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Tolak 50x-35y=-90 daripada 50x+10y=90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Tambahkan 50x pada -50x. Seubtan 50x dan -50x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y+35y=90+90$$

Tambahkan 10y pada 35y.

$$45y=90+90$$

Tambahkan 90 pada 90.

$$45y=180$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 45.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 10x-7y=-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$10x-7\times 4=-18$$

Darabkan -7 kali 4.

$$10x-28=-18$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$