Selesaikan {l}{5x+y=7}{-3x+7y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 7 } \\ { - 3 x + 7 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{-y+7}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x+7y=11.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+7y=11$$

Darabkan -3 kali \frac{-y+7}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{21}{5}+7y=11$$

Tambahkan \frac{3y}{5} pada 7y.

$$\frac{38}{5}y-\frac{21}{5}=11$$

Tambahkan \frac{21}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{38}{5}y=\frac{76}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{38}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada -\frac{2}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\right)}&-\frac{1}{5\times 7-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&-\frac{1}{38}\\\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 7-\frac{1}{38}\times 11\\\frac{3}{38}\times 7+\frac{5}{38}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=7,-3x+7y=11$$

Untuk menjadikan 5x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-3\times 5x-3y=-3\times 7,5\left(-3\right)x+5\times 7y=5\times 11$$

Permudahkan.

$$-15x-3y=-21,-15x+35y=55$$

Tolak -15x+35y=55 daripada -15x-3y=-21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x-3y-35y=-21-55$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-35y=-21-55$$

Tambahkan -3y pada -35y.

$$-38y=-21-55$$

Tambahkan -21 pada -55.

$$-38y=-76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -38.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -3x+7y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+7\times 2=11$$

Darabkan 7 kali 2.

$$-3x+14=11$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$