Selesaikan {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-11$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=19$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

Gantikan \frac{-y+19}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

Darabkan 2 kali \frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

Tambahkan -\frac{2y}{5} pada y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

Tolak \frac{38}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-11$$

Gantikan -11 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

Tambahkan \frac{19}{5} pada \frac{11}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-11$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-11$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Tolak 2x+y=1 daripada 5x+y=19 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x-2x=19-1$$

Tambahkan 5x pada -2x.

$$3x=19-1$$

Tambahkan 19 pada -1.

$$3x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam 2x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\times 6+y=1$$

Darabkan 2 kali 6.

$$12+y=1$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-11$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-11$$