Selesaikan {l}{5x+y=10}{4x+3y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 10 } \\ { 4 x + 3 y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{60}{11} = 5\frac{5}{11} \approx 5.454545455$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=10$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+10.

$$x=-\frac{1}{5}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{5}+2 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=20.

$$4\left(-\frac{1}{5}y+2\right)+3y=20$$

Darabkan 4 kali -\frac{y}{5}+2.

$$-\frac{4}{5}y+8+3y=20$$

Tambahkan -\frac{4y}{5} pada 3y.

$$\frac{11}{5}y+8=20$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{60}{11}$$

Gantikan \frac{60}{11} dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{60}{11}+2$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{60}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{12}{11}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{12}{11}.

$$x=\frac{10}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4}&-\frac{1}{5\times 3-4}\\-\frac{4}{5\times 3-4}&\frac{5}{5\times 3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 20\\-\frac{4}{11}\times 10+\frac{5}{11}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{60}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=10,4x+3y=20$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4y=4\times 10,5\times 4x+5\times 3y=5\times 20$$

Permudahkan.

$$20x+4y=40,20x+15y=100$$

Tolak 20x+15y=100 daripada 20x+4y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+4y-15y=40-100$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-15y=40-100$$

Tambahkan 4y pada -15y.

$$-11y=40-100$$

Tambahkan 40 pada -100.

$$-11y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{60}{11}$$

Gantikan \frac{60}{11} dengan y dalam 4x+3y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\times \frac{60}{11}=20$$

Darabkan 3 kali \frac{60}{11}.

$$4x+\frac{180}{11}=20$$

Tolak \frac{180}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{40}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{10}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{60}{11}$$