Selesaikan {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{-y-1}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

Darabkan 2 kali \frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

Tambahkan -\frac{2y}{5} pada 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{23}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{37}{23}$$

Gantikan \frac{37}{23} dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{37}{23} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

Tambahkan -\frac{1}{5} pada -\frac{37}{115} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Permudahkan.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

Tolak 10x+25y=35 daripada 10x+2y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-25y=-2-35$$

Tambahkan 2y pada -25y.

$$-23y=-2-35$$

Tambahkan -2 pada -35.

$$-23y=-37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=\frac{37}{23}$$

Gantikan \frac{37}{23} dengan y dalam 2x+5y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

Darabkan 5 kali \frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

Tolak \frac{185}{23} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$