Selesaikan {l}{5x+6y=-3}{3x+7y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = - 3 } \\ { 3 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+6y=-3$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-6y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -6y-3.

$$x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{-6y-3}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+7y=5.

$$3\left(-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)+7y=5$$

Darabkan 3 kali \frac{-6y-3}{5}.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{9}{5}+7y=5$$

Tambahkan -\frac{18y}{5} pada 7y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{9}{5}=5$$

Tambahkan \frac{9}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Darabkan -\frac{6}{5} kali 2.

$$x=\frac{-12-3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada -\frac{12}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-6\times 3}&-\frac{6}{5\times 7-6\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-6\times 3}&\frac{5}{5\times 7-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}\left(-3\right)-\frac{6}{17}\times 5\\-\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\left(-3\right),5\times 3x+5\times 7y=5\times 5$$

Permudahkan.

$$15x+18y=-9,15x+35y=25$$

Tolak 15x+35y=25 daripada 15x+18y=-9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+18y-35y=-9-25$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-35y=-9-25$$

Tambahkan 18y pada -35y.

$$-17y=-9-25$$

Tambahkan -9 pada -25.

$$-17y=-34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+7y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+7\times 2=5$$

Darabkan 7 kali 2.

$$3x+14=5$$

Tolak 14 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$