Selesaikan {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+5y=14$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-5y+14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Gantikan -y+\frac{14}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

Darabkan 2 kali -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Tambahkan -2y pada 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Tolak \frac{28}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{11}{5} dengan y dalam x=-y+\frac{14}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

Darabkan -1 kali \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada -\frac{11}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Permudahkan.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Tolak 10x+20y=50 daripada 10x+10y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-20y=28-50$$

Tambahkan 10y pada -20y.

$$-10y=28-50$$

Tambahkan 28 pada -50.

$$-10y=-22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{11}{5} dengan y dalam 2x+4y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

Darabkan 4 kali \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Tolak \frac{44}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$