Selesaikan {l}{5x+4y=8}{2x-3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 8 } \\ { 2 x - 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+4y=8$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-4y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -4y+8.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}$$

Gantikan \frac{-4y+8}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=17.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=17$$

Darabkan 2 kali \frac{-4y+8}{5}.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{16}{5}-3y=17$$

Tambahkan -\frac{8y}{5} pada -3y.

$$-\frac{23}{5}y+\frac{16}{5}=17$$

Tolak \frac{16}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{23}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{4}{5}y+\frac{8}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-3\right)+\frac{8}{5}$$

Darabkan -\frac{4}{5} kali -3.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Tambahkan \frac{8}{5} pada \frac{12}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4\times 2}&-\frac{4}{5\left(-3\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-4\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\\\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\times 8+\frac{4}{23}\times 17\\\frac{2}{23}\times 8-\frac{5}{23}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+4y=8,2x-3y=17$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 8,5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 17$$

Permudahkan.

$$10x+8y=16,10x-15y=85$$

Tolak 10x-15y=85 daripada 10x+8y=16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+8y+15y=16-85$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+15y=16-85$$

Tambahkan 8y pada 15y.

$$23y=16-85$$

Tambahkan 16 pada -85.

$$23y=-69$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 23.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 2x-3y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\left(-3\right)=17$$

Darabkan -3 kali -3.

$$2x+9=17$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$