Selesaikan {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=7$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{-3y+7}{5} dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

Darabkan -2 kali \frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{19}{11}$$

Gantikan \frac{19}{11} dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} dengan \frac{19}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada -\frac{57}{55} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Untuk menjadikan 5x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Permudahkan.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Tolak -10x+5y=5 daripada -10x-6y=-14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-5y=-14-5$$

Tambahkan -6y pada -5y.

$$-11y=-14-5$$

Tambahkan -14 pada -5.

$$-11y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{19}{11}$$

Gantikan \frac{19}{11} dengan y dalam -2x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Tolak \frac{19}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{4}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$