Selesaikan {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{-3y+6}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

Darabkan 2 kali \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

Tambahkan -\frac{6y}{5} pada 7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{33}{29}$$

Gantikan \frac{33}{29} dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} dengan \frac{33}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada -\frac{99}{145} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{15}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Permudahkan.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Tolak 10x+35y=45 daripada 10x+6y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y-35y=12-45$$

Tambahkan 6y pada -35y.

$$-29y=12-45$$

Tambahkan 12 pada -45.

$$-29y=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -29.

$$y=\frac{33}{29}$$

Gantikan \frac{33}{29} dengan y dalam 2x+7y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

Darabkan 7 kali \frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Tolak \frac{231}{29} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{15}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$