Selesaikan {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{939}{11} = -85\frac{4}{11} \approx -85.363636364$$

$$y = \frac{3215}{11} = 292\frac{3}{11} \approx 292.272727273$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=450$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+450$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Gantikan -\frac{3y}{5}+90 dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=913$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=913$$

Tambahkan -\frac{9y}{5} pada 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=913$$

Tolak 270 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=643$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{3215}{11}$$

Gantikan \frac{3215}{11} dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+90. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3215}{11}+90$$

Darabkan -\frac{3}{5} dengan \frac{3215}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1929}{11}+90$$

Tambahkan 90 pada -\frac{1929}{11}.

$$x=-\frac{939}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\913\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{939}{11}\\\frac{3215}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=450,3x+4y=913$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

Permudahkan.

$$15x+9y=1350,15x+20y=4565$$

Tolak 15x+20y=4565 daripada 15x+9y=1350 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+9y-20y=1350-4565$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-20y=1350-4565$$

Tambahkan 9y pada -20y.

$$-11y=1350-4565$$

Tambahkan 1350 pada -4565.

$$-11y=-3215$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{3215}{11}$$

Gantikan \frac{3215}{11} dengan y dalam 3x+4y=913. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\times \frac{3215}{11}=913$$

Darabkan 4 kali \frac{3215}{11}.

$$3x+\frac{12860}{11}=913$$

Tolak \frac{12860}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{2817}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{939}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{939}{11},y=\frac{3215}{11}$$