Selesaikan {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=51$$

$$y=65$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=450$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+450$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

Gantikan -\frac{3y}{5}+90 dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

Tambahkan -\frac{9y}{5} pada 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

Tolak 270 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=143$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=65$$

Gantikan 65 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+90. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali 65.

$$x=-39+90$$

Tambahkan 90 pada -39.

$$x=51$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=51,y=65$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=51,y=65$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

Permudahkan.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

Tolak 15x+20y=2065 daripada 15x+9y=1350 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-20y=1350-2065$$

Tambahkan 9y pada -20y.

$$-11y=1350-2065$$

Tambahkan 1350 pada -2065.

$$-11y=-715$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=65$$

Gantikan 65 dengan y dalam 3x+4y=413. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\times 65=413$$

Darabkan 4 kali 65.

$$3x+260=413$$

Tolak 260 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=153$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=51$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=51,y=65$$