Selesaikan {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{-3y+2}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x+12y=0.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

Darabkan -3 kali \frac{-3y+2}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

Tambahkan \frac{9y}{5} pada 12y.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{69}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{2}{23}$$

Gantikan \frac{2}{23} dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} dengan \frac{2}{23} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada -\frac{6}{115} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{8}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

Untuk menjadikan 5x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

Permudahkan.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

Tolak -15x+60y=0 daripada -15x-9y=-6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-60y=-6$$

Tambahkan -9y pada -60y.

$$-69y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -69.

$$y=\frac{2}{23}$$

Gantikan \frac{2}{23} dengan y dalam -3x+12y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

Darabkan 12 kali \frac{2}{23}.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

Tolak \frac{24}{23} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=\frac{8}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$