Selesaikan {l}{5x+3b=86}{2x+2b=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 b = 86 } \\ { 2 x + 2 b = 88 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, b

$$x=-23$$

$$b=67$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3b=86,2x+2b=88$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3b=86$$

Tolak 3b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3b+86$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3b+86\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3b+86.

$$x=-\frac{3}{5}b+\frac{86}{5}$$

Gantikan \frac{-3b+86}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+2b=88.

$$2\left(-\frac{3}{5}b+\frac{86}{5}\right)+2b=88$$

Darabkan 2 kali \frac{-3b+86}{5}.

$$-\frac{6}{5}b+\frac{172}{5}+2b=88$$

Tambahkan -\frac{6b}{5} pada 2b.

$$\frac{4}{5}b+\frac{172}{5}=88$$

Tolak \frac{172}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{5}b=\frac{268}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=67$$

Gantikan 67 dengan b dalam x=-\frac{3}{5}b+\frac{86}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 67+\frac{86}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali 67.

$$x=\frac{-201+86}{5}$$

Tambahkan \frac{86}{5} pada -\frac{201}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-23$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-23,b=67$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3b=86,2x+2b=88$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 2-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 2-3\times 2}&\frac{5}{5\times 2-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\88\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 86-\frac{3}{4}\times 88\\-\frac{1}{2}\times 86+\frac{5}{4}\times 88\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\67\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan b.

$$x=-23,b=67$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3b=86,2x+2b=88$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 3b=2\times 86,5\times 2x+5\times 2b=5\times 88$$

Permudahkan.

$$10x+6b=172,10x+10b=440$$

Tolak 10x+10b=440 daripada 10x+6b=172 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+6b-10b=172-440$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6b-10b=172-440$$

Tambahkan 6b pada -10b.

$$-4b=172-440$$

Tambahkan 172 pada -440.

$$-4b=-268$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$b=67$$

Gantikan 67 dengan b dalam 2x+2b=88. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2\times 67=88$$

Darabkan 2 kali 67.

$$2x+134=88$$

Tolak 134 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-23$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-23,b=67$$