Selesaikan {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=6$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{-2y+6}{5} dengan x dalam persamaan lain, 9x+2y=22.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

Darabkan 9 kali \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

Tambahkan -\frac{18y}{5} pada 2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

Tolak \frac{54}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} kali -7.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada \frac{14}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Tolak 9x+2y=22 daripada 5x+2y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x-9x=6-22$$

Tambahkan 5x pada -9x.

$$-4x=6-22$$

Tambahkan 6 pada -22.

$$-4x=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam 9x+2y=22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$9\times 4+2y=22$$

Darabkan 9 kali 4.

$$36+2y=22$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-7$$