Selesaikan {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=3$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{-2y+3}{5} dengan x dalam persamaan lain, 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

Darabkan 12 kali \frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

Tambahkan -\frac{24y}{5} pada 7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

Tolak \frac{36}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Gantikan -\frac{26}{11} dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan -\frac{26}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

Tambahkan \frac{3}{5} pada \frac{52}{55} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{17}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

Untuk menjadikan 5x dan 12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

Permudahkan.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

Tolak 60x+35y=10 daripada 60x+24y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

Tambahkan 60x pada -60x. Seubtan 60x dan -60x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-35y=36-10$$

Tambahkan 24y pada -35y.

$$-11y=36-10$$

Tambahkan 36 pada -10.

$$-11y=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

Gantikan -\frac{26}{11} dengan y dalam 12x+7y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

Darabkan 7 kali -\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

Tambahkan \frac{182}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=\frac{204}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{17}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$