Selesaikan {l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=17$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+17.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

Gantikan \frac{-2y+17}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y+17}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

Tambahkan -\frac{4y}{5} pada 3y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

Tolak \frac{34}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Gantikan -\frac{19}{11} dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan -\frac{19}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

Tambahkan \frac{17}{5} pada \frac{38}{55} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{45}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

Permudahkan.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

Tolak 10x+15y=15 daripada 10x+4y=34 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-15y=34-15$$

Tambahkan 4y pada -15y.

$$-11y=34-15$$

Tambahkan 34 pada -15.

$$-11y=19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=-\frac{19}{11}$$

Gantikan -\frac{19}{11} dengan y dalam 2x+3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

Darabkan 3 kali -\frac{19}{11}.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

Tambahkan \frac{57}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{90}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{45}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$