Selesaikan {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=0$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

Gantikan -\frac{2y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

Darabkan 6 kali -\frac{2y}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

Tambahkan -\frac{12y}{5} pada -y.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Gantikan -\frac{10}{17} dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan -\frac{10}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

Untuk menjadikan 5x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

Permudahkan.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

Tolak 30x-5y=10 daripada 30x+12y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y+5y=-10$$

Tambahkan 12y pada 5y.

$$17y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Gantikan -\frac{10}{17} dengan y dalam 6x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

Tolak \frac{10}{17} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{24}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{4}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$