Selesaikan {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x+3y=2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{-3y+2}{5} dengan x dalam persamaan lain, x+y=10.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

Tambahkan -\frac{3y}{5} pada y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

Tolak \frac{2}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=24$$

Gantikan 24 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali 24.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada -\frac{72}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-14,y=24$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-14,y=24$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

Untuk menjadikan 5x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

Permudahkan.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

Tolak 5x+5y=50 daripada 5x+3y-2=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-5y-2=-50$$

Tambahkan 3y pada -5y.

$$-2y-2=-50$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=24$$

Gantikan 24 dengan y dalam x+y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+24=10$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-14$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-14,y=24$$