Selesaikan {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk u dengan mengasingkan u di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5u+x=-10$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5u=-x-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

Gantikan -\frac{x}{5}-2 dengan u dalam persamaan lain, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

Darabkan 3 kali -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

Tambahkan -\frac{3x}{5} pada 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{12}{5}x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{12}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan x dalam u=-\frac{1}{5}x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{5}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

Tambahkan -2 pada -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks u dan x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

Untuk menjadikan 5u dan 3u sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

Permudahkan.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

Tolak 15u+15x=0 daripada 15u+3x=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

Tambahkan 15u pada -15u. Seubtan 15u dan -15u saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-15x=-30$$

Tambahkan 3x pada -15x.

$$-12x=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$x=\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{5}{2} dengan x dalam 3u+3x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

Darabkan 3 kali \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$