Selesaikan {l}{5a+25b=99}{25a+165b=523}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5a+25b=99$$

Tolak 25b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5a=-25b+99$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -25b+99.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

Gantikan -5b+\frac{99}{5} dengan a dalam persamaan lain, 25a+165b=523.

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

Darabkan 25 kali -5b+\frac{99}{5}.

$$-125b+495+165b=523$$

Tambahkan -125b pada 165b.

$$40b+495=523$$

Tolak 495 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40b=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$b=\frac{7}{10}$$

Gantikan \frac{7}{10} dengan b dalam a=-5b+\frac{99}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

Darabkan -5 kali \frac{7}{10}.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

Tambahkan \frac{99}{5} pada -\frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{163}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

Untuk menjadikan 5a dan 25a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 25 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

Permudahkan.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

Tolak 125a+825b=2615 daripada 125a+625b=2475 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

Tambahkan 125a pada -125a. Seubtan 125a dan -125a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$625b-825b=2475-2615$$

Tambahkan 625b pada -825b.

$$-200b=2475-2615$$

Tambahkan 2475 pada -2615.

$$-200b=-140$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -200.

$$b=\frac{7}{10}$$

Gantikan \frac{7}{10} dengan b dalam 25a+165b=523. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

Darabkan 165 kali \frac{7}{10}.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

Tolak \frac{231}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25a=\frac{815}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$a=\frac{163}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$