Selesaikan {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$5x+10=4y$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y-4.

$$3y-12=6x$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-12-6x=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-6x=12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=-10$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

Gantikan \frac{4y}{5}-2 dengan x dalam persamaan lain, -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

Darabkan -6 kali \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

Tambahkan -\frac{24y}{5} pada 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{4}{5}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$5x+10=4y$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y-4.

$$3y-12=6x$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-12-6x=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-6x=12$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 5 dengan x+2.

$$5x+10=4y$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah.

$$5x+10-4y=0$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$5x-4y=-10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan y-4.

$$3y-12=6x$$

Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-12-6x=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-6x=12$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

Untuk menjadikan 5x dan -6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

Permudahkan.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

Tolak -30x+15y=60 daripada -30x+24y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-15y=60-60$$

Tambahkan 24y pada -15y.

$$9y=60-60$$

Tambahkan 60 pada -60.

$$9y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam -6x+3y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-6x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=0$$