Selesaikan {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$40x+30y=500$$

Tolak 30y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40x=-30y+500$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

Darabkan \frac{1}{40} kali -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} dengan x dalam persamaan lain, 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

Darabkan 60 kali -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=60$$

Tambahkan -45y pada 15y.

$$-30y+750=60$$

Tolak 750 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-30y=-690$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=23$$

Gantikan 23 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali 23.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

Tambahkan \frac{25}{2} pada -\frac{69}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{19}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

Untuk menjadikan 40x dan 60x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 60 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

Permudahkan.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

Tolak 2400x+600y=2400 daripada 2400x+1800y=30000 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

Tambahkan 2400x pada -2400x. Seubtan 2400x dan -2400x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$1800y-600y=30000-2400$$

Tambahkan 1800y pada -600y.

$$1200y=30000-2400$$

Tambahkan 30000 pada -2400.

$$1200y=27600$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1200.

$$y=23$$

Gantikan 23 dengan y dalam 60x+15y=60. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$60x+15\times 23=60$$

Darabkan 15 kali 23.

$$60x+345=60$$

Tolak 345 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$60x=-285$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 60.

$$x=-\frac{19}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$