Selesaikan {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=6$$

$$y=-10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$x+4y=-34$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4y-5x=-70$$

Tambahkan 5x pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=5x-70$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

Gantikan -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} dengan y dalam persamaan lain, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

Darabkan 4 kali -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

Tambahkan 5x pada x.

$$6x-70=-34$$

Tambahkan 70 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

Darabkan \frac{5}{4} kali 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

Tambahkan -\frac{35}{2} pada \frac{15}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-10,x=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$x+4y=-34$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-10,x=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$x+4y=-34$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

Tolak 4y+x=-34 daripada 4y-5x=-70 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

Tambahkan 4y pada -4y. Seubtan 4y dan -4y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5x-x=-70+34$$

Tambahkan -5x pada -x.

$$-6x=-70+34$$

Tambahkan -70 pada 34.

$$-6x=-36$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=6$$

Gantikan 6 dengan x dalam 4y+x=-34. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4y+6=-34$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-10,x=6$$