Selesaikan {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4y-3x=8$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=3x+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Gantikan \frac{3x}{4}+2 dengan y dalam persamaan lain, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Darabkan -2 kali \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Tambahkan -\frac{3x}{2} pada ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam y=\frac{3}{4}x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=2,x=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Untuk menjadikan 4y dan -2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Tolak -8y+4ax=-16 daripada -8y+6x=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan -8y pada 8y. Seubtan -8y dan 8y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan 6x pada -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan -16 pada 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6-4a.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam -2y+ax=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=0$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4y-3x=8$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=3x+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

Gantikan \frac{3x}{4}+2 dengan y dalam persamaan lain, -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

Darabkan -2 kali \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

Tambahkan -\frac{3x}{2} pada ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam y=\frac{3}{4}x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=2,x=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$ax+4-2y=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$ax-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

Untuk menjadikan 4y dan -2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

Tolak -8y+4ax=-16 daripada -8y+6x=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan -8y pada 8y. Seubtan -8y dan 8y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan 6x pada -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

Tambahkan -16 pada 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6-4a.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam -2y+ax=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=2,x=0$$