Selesaikan {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=1$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{1+y}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

Darabkan 2 kali \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{7}{3} dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

Darabkan \frac{1}{4} dengan \frac{7}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{7}{12} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

Permudahkan.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

Tolak 8x+4y=16 daripada 8x-2y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-4y=2-16$$

Tambahkan -2y pada -4y.

$$-6y=2-16$$

Tambahkan 2 pada -16.

$$-6y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{7}{3} dengan y dalam 2x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

Tolak \frac{7}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$