Selesaikan {l}{4x-8y+32+lambda=0-(2)}{x+y-50=0-(3)}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 8 y + 32 + \lambda = 0 - ( 2 ) } \\ { x + y - 50 = 0 - ( 3 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2}$$

$$y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-8y+\lambda +32=-2,x+y-50=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-8y+\lambda +32=-2$$

Tolak 32+\lambda daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x-8y=-\lambda -34$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=8y-\lambda -34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(8y-\lambda -34\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 8y-34-\lambda .

$$x=2y-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}$$

Gantikan 2y-\frac{17}{2}-\frac{\lambda }{4} dengan x dalam persamaan lain, x+y-50=-3.

$$2y-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}+y-50=-3$$

Tambahkan 2y pada y.

$$3y-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}-50=-3$$

Tambahkan -\frac{17}{2}-\frac{\lambda }{4} pada -50.

$$3y-\frac{\lambda }{4}-\frac{117}{2}=-3$$

Tolak -\frac{117}{2}-\frac{\lambda }{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=\frac{\lambda }{4}+\frac{111}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$

Gantikan \frac{37}{2}+\frac{\lambda }{12} dengan y dalam x=2y-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\left(\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}\right)-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}$$

Darabkan 2 kali \frac{37}{2}+\frac{\lambda }{12}.

$$x=\frac{\lambda }{6}+37-\frac{\lambda }{4}-\frac{17}{2}$$

Tambahkan -\frac{17}{2}-\frac{\lambda }{4} pada 37+\frac{\lambda }{6}.

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2},y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-8y+\lambda +32=-2,x+y-50=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{4-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-8\right)}&\frac{4}{4-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\lambda -34\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-\lambda -34\right)+\frac{2}{3}\times 47\\-\frac{1}{12}\left(-\lambda -34\right)+\frac{1}{3}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2}\\\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2},y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-8y+\lambda +32=-2,x+y-50=-3$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x-8y+\lambda +32=-2,4x+4y+4\left(-50\right)=4\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$4x-8y+\lambda +32=-2,4x+4y-200=-12$$

Tolak 4x+4y-200=-12 daripada 4x-8y+\lambda +32=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-8y-4y+\lambda +32+200=-2+12$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-4y+\lambda +32+200=-2+12$$

Tambahkan -8y pada -4y.

$$-12y+\lambda +32+200=-2+12$$

Tambahkan 32+\lambda pada 200.

$$-12y+\lambda +232=-2+12$$

Tambahkan -2 pada 12.

$$-12y+\lambda +232=10$$

Tolak 232+\lambda daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-12y=-\lambda -222$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$

Gantikan \frac{37}{2}+\frac{\lambda }{12} dengan y dalam x+y-50=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}-50=-3$$

Tambahkan \frac{37}{2}+\frac{\lambda }{12} pada -50.

$$x+\frac{\lambda }{12}-\frac{63}{2}=-3$$

Tolak -\frac{63}{2}+\frac{\lambda }{12} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\lambda }{12}+\frac{57}{2},y=\frac{\lambda }{12}+\frac{37}{2}$$