Selesaikan {l}{4x-5y=18}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-5y=18$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=5y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 5y+18.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

Gantikan \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

Darabkan 3 kali \frac{5y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada -2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

Tolak \frac{27}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan \frac{5}{4} kali -2.

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

Permudahkan.

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

Tolak 12x-8y=40 daripada 12x-15y=54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y+8y=54-40$$

Tambahkan -15y pada 8y.

$$-7y=54-40$$

Tambahkan 54 pada -40.

$$-7y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 3x-2y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

Darabkan -2 kali -2.

$$3x+4=10$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-2$$