Selesaikan {l}{4x-3y=5}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=5$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3y+5.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{3y+5}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+2y=8$$

Darabkan 3 kali \frac{3y+5}{4}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{4}+2y=8$$

Tambahkan \frac{9y}{4} pada 2y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{15}{4}=8$$

Tolak \frac{15}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{4}y=\frac{17}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{3}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{3}{17}\times 8\\-\frac{3}{17}\times 5+\frac{4}{17}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-3y=5,3x+2y=8$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

Permudahkan.

$$12x-9y=15,12x+8y=32$$

Tolak 12x+8y=32 daripada 12x-9y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-9y-8y=15-32$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-8y=15-32$$

Tambahkan -9y pada -8y.

$$-17y=15-32$$

Tambahkan 15 pada -32.

$$-17y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3x+2y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2=8$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$