Selesaikan {l}{4x-3y=25}{-3x+y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 25 } \\ { - 3 x + y = - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-3y=25,-3x+y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=25$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=3y+25$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+25\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3y+25.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

Gantikan \frac{3y+25}{4} dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-15.

$$-3\left(\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)+y=-15$$

Darabkan -3 kali \frac{3y+25}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{75}{4}+y=-15$$

Tambahkan -\frac{9y}{4} pada y.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{75}{4}=-15$$

Tambahkan \frac{75}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{25}{4}$$

Darabkan \frac{3}{4} kali -3.

$$x=\frac{-9+25}{4}$$

Tambahkan \frac{25}{4} pada -\frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-3y=25,-3x+y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 25-\frac{3}{5}\left(-15\right)\\-\frac{3}{5}\times 25-\frac{4}{5}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-3y=25,-3x+y=-15$$

Untuk menjadikan 4x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-3\times 4x-3\left(-3\right)y=-3\times 25,4\left(-3\right)x+4y=4\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$-12x+9y=-75,-12x+4y=-60$$

Tolak -12x+4y=-60 daripada -12x+9y=-75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x+9y-4y=-75+60$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-4y=-75+60$$

Tambahkan 9y pada -4y.

$$5y=-75+60$$

Tambahkan -75 pada 60.

$$5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam -3x+y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-3=-15$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-3$$