Selesaikan {l}{4x-3y=1}{5x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=1$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=3y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{3y+1}{4} dengan x dalam persamaan lain, 5x+y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

Darabkan 5 kali \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{23}{19}$$

Gantikan \frac{23}{19} dengan y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

Darabkan \frac{3}{4} dengan \frac{23}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada \frac{69}{76} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

Permudahkan.

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

Tolak 20x+4y=28 daripada 20x-15y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-4y=5-28$$

Tambahkan -15y pada -4y.

$$-19y=5-28$$

Tambahkan 5 pada -28.

$$-19y=-23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=\frac{23}{19}$$

Gantikan \frac{23}{19} dengan y dalam 5x+y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

Tolak \frac{23}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{110}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{22}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$