Selesaikan {l}{4x-3y=1}{5x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=1$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=3y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{3y+1}{4} dengan x dalam persamaan lain, 5x+3y=-10.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+3y=-10$$

Darabkan 5 kali \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+3y=-10$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada 3y.

$$\frac{27}{4}y+\frac{5}{4}=-10$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{27}{4}y=-\frac{45}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{27}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Gantikan -\frac{5}{3} dengan y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-\frac{5}{3}\right)+\frac{1}{4}$$

Darabkan \frac{3}{4} dengan -\frac{5}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-5+1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada -\frac{5}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{5}{27}&\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\\-\frac{5}{27}+\frac{4}{27}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-3y=1,5x+3y=-10$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-10\right)$$

Permudahkan.

$$20x-15y=5,20x+12y=-40$$

Tolak 20x+12y=-40 daripada 20x-15y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-15y-12y=5+40$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-12y=5+40$$

Tambahkan -15y pada -12y.

$$-27y=5+40$$

Tambahkan 5 pada 40.

$$-27y=45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -27.

$$y=-\frac{5}{3}$$

Gantikan -\frac{5}{3} dengan y dalam 5x+3y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+3\left(-\frac{5}{3}\right)=-10$$

Darabkan 3 kali -\frac{5}{3}.

$$5x-5=-10$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-\frac{5}{3}$$