Selesaikan {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$4x+3y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$5y+5x=12$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=9$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+9}{4} dengan x dalam persamaan lain, 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

Darabkan 5 kali \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

Tambahkan -\frac{15y}{4} pada 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

Tolak \frac{45}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{3}{5} dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan \frac{3}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada -\frac{9}{20} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$4x+3y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$5y+5x=12$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$4x+3y=9$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 5x pada kedua-dua belah.

$$5y+5x=12$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

Permudahkan.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

Tolak 20x+20y=48 daripada 20x+15y=45 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-20y=45-48$$

Tambahkan 15y pada -20y.

$$-5y=45-48$$

Tambahkan 45 pada -48.

$$-5y=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{3}{5} dengan y dalam 5x+5y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

Darabkan 5 kali \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$