Selesaikan {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

Gantikan -\frac{y}{4}+1 dengan x dalam persamaan lain, -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

Darabkan -3 kali -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada -6y.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{21}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -4.

$$x=1+1$$

Tambahkan 1 pada 1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

Untuk menjadikan 4x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

Permudahkan.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

Tolak -12x-24y=72 daripada -12x-3y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+24y=-12-72$$

Tambahkan -3y pada 24y.

$$21y=-12-72$$

Tambahkan -12 pada -72.

$$21y=-84$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 21.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam -3x-6y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

Darabkan -6 kali -4.

$$-3x+24=18$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$